Démonstration

Démontrons que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\).

Initialisation : On commence par montrer que l'énoncé est vrai pour le premier nombre impair, \(1\). En effet, \(1^2 = 1\)

Hérédité : Supposons maintenant que l’affirmation est vraie pour un nombre impair arbitraire \(m = 2k - 1\). \(n\) est le k-ième nombre impair, donc la somme de tous les nombres impairs jusqu’à \(m\) compris est \(k^2\). Il faut donc utiliser cette hypothèse pour démontrer que la somme des \(k+1\) premiers nombres impairs est \((k+1)^2\). Autrement dit, il faut démontrer que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k + 1\) \(=(k+1)^2\). Or, nous avons supposé que \(1 + 3 +\) … \(+2k-1=k^2\). Donc, \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1 \) \(=k^2+2k+1\). Il s’agit d’une identité remarquable qui nous permet de déduire que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1\) \(=(k+1)^2\).

Conclusion : Par récurrence, nous pouvons maintenant conclure que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\) pour tous les nombres impairs.

L'équation \(kx^2 - 2kx + 4 = 0\) n'a pas de racines réelles. Démontre que \(k\) satisfait à l'inégalité \(0 \leq k < 4\)

Cela va impliquer l'utilisation du discriminant.

Quand une équation du second degré (\(ax^2+bx+c=0\)) n'a pas de racines réelles, \(b^2 - 4ac < 0\)

Remplaçons donc les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).

\(a=k, b=-2k, c=4\)

\((-2k)^2 - 4(k)(4) = 4k^2 - 16k\)

Comme il n'y a pas de racines réelles, la valeur du discriminant doit être inférieure à 0. Donc, \(4k^2 - 16k < 0\)

\(k(4k-16)<0\)

Alors, si on fait un croquis, on obtient :

Fig. 1 - Exemple de raisonnement déductif

Tu peux voir sur le graphique que \(k(4k - 16) < 0\) lorsque la courbe est en dessous de l'axe des x. Cela se produit lorsque \(0 < k < 4\)

Cependant, lorsque \(k = 0\), la formule du discriminant n'est plus valable.

Si nous substituons \(k = 0\) dans l'équation originale

\(kx^2 - 2kx + 4 = 0\)\((0)x^2 - 2(0)x + 4 = 0\)\(4 = 0\)

Ce n'est pas possible, donc il n'y a pas de racines réelles.

Par conséquent, \(0 \leq k < 4\) comme requis.

Démontre que \((2x + 3)(x + 4)(x -1 )\) ≡ \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

Distribue les parenthèses du côté gauche de l'identité et combine les termes semblables

\((2x + 3)(x + 4)(x - 1) = (2x + 3)(x^2 - x + 4x - 4)\)\(= (2x + 3)(x^2 + 3x - 4)\)

\(= 2x^3 + 6x^2 - 8x + 3x^2 + 9x - 12\)\(= 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

Par conséquent, nous pouvons dire que \((2x + 3)(x + 4)\) ≡ \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)

On peut également te demander de démontrer des identités trigonométriques :

Démontre que \(sin^2\theta + cos^2\theta\)

Considère le diagramme ci-dessous :

Fig. 2 - Démonstration d'une identité trigonométrique

Si nous écrivons des expressions trigonométriques pour a et b :

\(a = csin\theta\)\(b = ccos\theta\)

Par le théorème de Pythagore \(a^2 + b^2 = c^2\)

Donc, en substituant les expressions pour \(a\) et \(b\) :

\((csin\theta)^2 + (ccos\theta)^2\) ≡ \(c^2sin^2\theta + c^2cos^2\theta\)\(c^2(sin^2\theta + c^2(cos^2\theta)\) ≡ \(c^2\)

Factorisation de \(c^2\):

\(c^2(sin^2\theta + cos^2\theta)\) ≡ \(c^2\)

Divise les deux côtés par \(c^2\) (Nous pouvons le faire car \(c \neq 0 \))

Par conséquent, \(sin^2\theta + cos^2\theta = 1\)

Démontre que l'affirmation ci-dessous n'est pas vraie.

La somme de deux nombres carrés est toujours un nombre carré.

Nous pouvons le démontrer par un contre-exemple, en trouvant un seul exemple qui démontre que l'affirmation est fausse. Nous devons donc trouver deux nombres carrés qui, lorsqu'ils sont additionnés, ne sont pas des nombres carrés. Essayons 4 et 9.

4 est un nombre carré ( \(2^2\) )

9 est un nombre carré ( \(3^2\) )

9 + 4 = 13

13 n'est pas un nombre carré.

L'affirmation n'est donc pas vraie.

Démontre que la somme de deux nombres carrés consécutifs compris entre 1 et 81 est un nombre impair.

• Les nombres carrés entre 1 et 81 sont :

4, 9, 16, 25, 36, 49 et 64.

• Utilisons maintenant le raisonnement par disjonction de cas, et trouvons ces sommes.4 + 9 = 13 (impair)9 + 16 = 25 (impair)16 + 25 = 41 (impair)25 + 36 = 61 (impair)36 + 49 = 85 (impair)49 + 64 = 113 (impair)

Tous ces nombres sont impairs, donc l'affirmation est démontrée.

Démontre qu'il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels \(5a + 10b = 1\)

• Suppose le contraire : Supposons que nous puissions trouver deux entiers a et b qui rendent l'équation \(5a + 10b = 1\) vraie.
• Si c'est le cas, nous pouvons alors diviser les deux côtés de l'équation par 5 :

$\frac{5}{5}a+\frac{10}{5}b=\frac{1}{5}$

$a+2b=\frac{1}{5}$

• Si a et b sont des nombres entiers, alors le résultat de a + 2b doit également être un nombre entier. Par conséquent, a + 2b ne peut pas donner la fraction \(\frac{1}{5}\), comme le stipule l'équation. Nous avons ici une contradiction, ce qui rend notre hypothèse fausse.
• Comme nous avons démontré que l'affirmation opposée est fausse, l'affirmation originale est démontrée vraie. Par conséquent, nous pouvons dire que l'affirmation "Il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels 5a + 10b = 1" est vraie.